Fibonacci

Ciências exatas”As margaridas têm 13, 21 ou 34 pétalas. Os crisântemos têm 34 pétalas. Os girassóis têm suas sementes distribuídas em espirais, normalmente 34 espirais no sentido horário e 55 no sentido anti-horário. O que há de especial com esses números, 13, 21, 34 e 55? São todos números de Fibonacci. O matemático italiano Fibonacci, que viveu entre os anos de 1170 e 1250 é famoso por ter descoberto uma importante sequência numérica, cujos termos são obtidos por uma regra simples: o primeiro número de Fibonacci é 1 e o segundo também é 1. Quanto aos outros termos da sequência, cada um é a soma dos dois termos que o antecedem. A sequência fica assim: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, e assim sucessivamente. Da próxima vez que você vir uma flor, conte suas pétalas!”

SOBRE FIBONACCI

O matemático Fibonacci viveu de 1170 a 1250 e na verdade chamava-se Leonardo de Pisa. Filho do diplomata italiano Guilielmo, membro da família Bonacci, Leonardo ficou conhecido como Fibonacci, corruptela de filius Bonacci (filho de Bonacci).

Fibonacci nasceu na Itália, mas foi educado no norte da África, onde seu pai trabalhou por algum tempo. Viajando ao lado de seu pai Fibonacci teve contato com os sistemas numéricos que dariam origem ao nosso sistema hindu-arábico enquanto na Europa os números ainda eram representados apenas pelos algarismos romanos. Fibonacci percebeu as vantagens destes sistemas e, quando regressou à Europa, escreveu sobre eles em seu livro mais famoso, o Liber Abaci, de 1202.

A contribuição de Fibonacci para o conhecimento matemático de sua época foi reconhecida por Frederico II, então imperador do Sacro Império Romano Germânico. Financieiramente, o matemático também foi apoiado por um decreto da República de Pisa que em 1240 outorgou a Fibonacci um salário em reconhecimento aos serviços que havia prestado à cidade através do aconselhamento sobre temas de contabilidade e da transmissão de conhecimentos aos seus cidadãos. Esse decreto é o único documento conhecido que se refere à Fibonacci.

A construção matemática mais famosa atribuída ao matemático é a sequência de Fibonacci, sobre a qual falaremos mais adiante.

 

SOBRE A SEQUÊNCIA DE FIBONACCI

A sequência de Fibonacci é uma sequência numérica construída através de um procedimento recursivo simples:

  • Os dois primeiros termos são iguais a 1.
  • Cada novo termo é obtido como a soma dos dois termos precedentes.

Seguindo essas regras, a sequência começa com 1, 1 e para achar o terceiro termo devemos somar estes dois uns:

1, 1, 2.

Para achar o quarto termo, vamos somar os dois termos que o antecem, isto é, 1 + 2:

1, 1, 2, 3.

Repetindo este procedimento encontramos, pouco a pouco, os termos da sequência:

1, 1, 2, 3, 5.
1, 1, 2, 3, 5, 8.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13

Assim por diante. Aqui estão os primeiros 20 termos da sequência de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765.

 

O PROBLEMA DOS COELHOS

Fibonacci propôs sua famosa sequência através de um problema curioso que enunciamos a seguir:

Certo homem pôs um casal de coelhos em um lugar totalmente cercado. Quantos casais de coelhos podem ser gerados por esse casal em um ano se supusermos que a cada mês cada casal gera um novo casal, o qual começa a se reproduzir a partir do segundo mês de vida?

Para resolver esse problema podemos montar a seguinte tabela:

Mês CASAIS MADUROS CASAIS NOVOS
1 1 0

Veja que no primeiro mês temos apenas um casal maduro. No segundo mês temos, além deste casal, um novo casal, descendente do primeiro par:

Mês CASAIS MADUROS CASAIS NOVOS
1 1 0
2 1 1

No terceiro mês esses dois casais já estão na fase reprodutiva e há ainda um novo casal, nascido do primeiro par:

Mês CASAIS MADUROS CASAIS NOVOS
1 1 0
2 1 1
3 2 1

Observe que para seguir preenchendo a tabela devemos, para cada mês, fazer o seguinte:

  • Calculamos o número de casais maduros somando os casais que já eram maduros antes com aqueles que eram casais novos no mês anterior;
  • O número de novos casais a cada mês é exatamente igual ao número de casais maduros no mês anterior.

A tabela completa para um ano fica assim:

Mês CASAIS MADUROS CASAIS NOVOS
1 1 0
2 1 1
3 2 1
4 3 2
5 5 3
6 8 5
7 13 8
8 21 13
9 34 21
10 55 34
11 89 55
12 144 89

Logo, em um ano haverá 233 casais de coelhos, sendo que 144 já estarão maduros e 89 serão casais novos. A resposta para a pergunta de Fibonacci é que o primeiro casal dará origem a outros 232 casais.

Se você observar as colunas do meio e da direita da tabela que montamos, encontrará nelas a sequência de Fibonacci.

 

UM POUCO ALÉM: O NÚMERO DE ÁUREO

O que acontece se dividirmos os números da sequência de Fibonacci por seus antecessores? Vamos dar uma olhada…

1/1  = 1
2/1  = 2
3/2  = 1,5
5/3  = 1,666666666666666666…
8/5  = 1,6
13/8  = 1,625
21/13  = 1,615384615384615384…
34/21  = 1,619047619047619047…
55/34  = 1,617647058823529411…
89/55  = 1,618181818181818181…
144/89  = 1,617977528089887640…
233/144  = 1,618055555555555555…
377/233  = 1,618025751072961373…
610/377  = 1,618037135278514588…
987/610  = 1,618032786885245901…
1597/987  = 1,618034447821681864…
2584/1597  = 1,618033813400125234…
4181/2584  = 1,618034055727554179…
6765/4181  = 1,618033963166706529…

Repare que nas últimas divisões os 6 primeiros dígitos já não mudam: 1,61803. Se você continuar dividindo o resultado vai se aproximar cada vez mais de um número irracional chamado de razão áurea (ou número de ouro) e denotado pela letra grega phi:

Este número também tem presença marcada na constituição de diversas plantas. Você pode aprender mais sobre ele em http://www.uff.br/cdme/rza/ ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/rza/.

 

NATUREZA E A SEQUÊNCIA DE FIBONACCI

Há muita polêmica sobre a profusão de aparições da sequência de Fibonacci e do número áureo na natureza, na arquitetura, nas artes, etc. Essa polêmica não é infundada. Em grande parte dos casos difundidos (especialmente com relação às artes e à arquitetura), a suposta presença de números de Fibonacci ou do número áureo não resiste a uma análise mais profunda e cuidadosa. Por isso é muito importante pesar sempre a origem das informações divulgadas e a confiabilidade das fontes de onde foram retiradas.

No caso das plantas, vários estudos de filotaxia confirmam a presença desses números na constituição de certas espécies, como as que citamos na chamada de áudio. Nas referências bibliográficas indicaremos alguns trabalhos que tratam do tema.

LINKS

Atividades sobre o número de ouro: http://www.uff.br/cdme/rza/ ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/rza/.Relação entre o número de ouro e a sequência de Fibonacci: http://www.uff.br/cdme/rza/rza-html/rza-fibonacci-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/rza/rza-html/rza-fibonacci-br.html.

Sobre a história de Fibonacci, um bom site, em espanhol, é http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3608.

Há vários sites em português onde encontramos informações sobre a sequência de Fibonacci e suas ocorrências na natureza. Mas lembre-se de ser criterioso ao selecionar suas fontes de informação, também há muita mistificação sobre o tema. Em inglês, um excelente site sobre números de Fibonacci na natureza éhttp://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#bees.

Especificamente sobre filotaxia e Fibonacci, um site interessante é http://www.math.smith.edu/phyllo/.

 

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Lívio, M. A Razão Áurea. Editora Record, 2006.

Devlin, K. O Instinto Matemático. Editora Record, 2009.

Davis, T. A. Why Fibonacci Sequence for Palm Leaf Spirals? The Fibonacci Quarterly, vol. 9, pp. 227-244, 1971.

G W Ryan; G. W., Rouse; J. L., Bursill, L. A. Quantitative Analysis of Sunflower Seed Packing. J. Theor. Biol., vol. 147, pp. 303-328, 1991.

Brousseau, A. Fibonacci Statistics in Conifers. The Fibonacci Quarterly, vol. 7, pp. 525–532, 1969.

 

 

Artigo original:


http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/matematica_e_%20natureza/matematicaenatureza-html/audio-flores-br.html